Вернутся к примерам решения задач по эконометрике
Решение задачи №7 по эконометрике. Система эконометрических уравнений. Условие задачи:
Рассматривается следующая модель:
Сt= a1 + b11 * Yt + b12 * Ct-1 + U1 (функция потребления);
It = a2 + b21 * rt + b22 * It-1 + U2(функция инвестиций);
rt = а3 + b31 * Yt + b32 * Mt + U3 (функция денежного рынка);
Yt = Ct + It + Gt (тождество дохода),
где:
Сt - расходы на потребление в период t;
Yt - совокупный доход в период t;
It - инвестиции в период t;
rt - процентная ставка в период t;
Mt - денежная масса в период t;
Gt - государственные расходы в период t,
Ct-1 - расходы на потребление в период t - 1;
It-1 - инвестиции в период t - 1;
U1, U2, U3 - случайные ошибки.
Требуется:
1. В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложите способ оценки ее параметров.
2. Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тождество дохода?
Решение:
1. Для того, чтобы определить, каким способом оценивать параметры представленной системы эконометрических уравнений, требуется провести анализ каждого уравнения и системы в целом на идентифицируемость. С этой целью для каждого уравнения из приведенной системы проверим выполнение необходимого и достаточного условий идентификации.
Проверим выполнение необходимых условий для индентифицируемости в системе эконометрических уравнений.
Рассмотрим первое уравнение из приведенной системы.
Эндогенные переменные (заданы внутри системы эконометрических уравнений): Ct, Yt, т.е. H = 2.
Экзогенные и лаговые переменные (т.е. заданы вне системы эконометрических уравнений): Ct-1, т.е. D = 4-1 = 3.
Имеет место условие D+1 > H, т.к. 3+1 > 2, следовательно, первое уравнение в приведенной системе сверхидентифицируемо.
Далее рассмотрим второе уравнение в приведенной системе:
Эндогенные переменные (заданы внутри системы эконометрических уравнений): It, rt, т.е. H = 2.
Экзогенные и лаговые переменные (т.е. заданы вне системы эконометрических уравнений): It-1, т.е. D = 4-1 = 3.
Следовательно, выполняется условие D+1 > H, т.к. 3+1 > 2, следовательно, втрое уравнение в приведенной эконометрической системе сверхидентифицируемо.
Далее рассмотрим третье уравнение в приведенной системе:
Эндогенные переменные (заданы внутри системы эконометрических уравнений): Yt, rt, т.е. H = 2.
Экзогенные и лаговые переменные (т.е. заданы вне системы эконометрических уравнений): Mt, т.е. D = 4-1 = 3.
Имеет место выполнение условия D+1 > H, т.к. 3+1 > 2, следовательно, первое уравнение в приведенной системе сверхидентифицируемо.
Далее рассмотрим четвертое уравнение системы. Данное уравнение является тождеством с заранее известными параметрами, следовательно, необходимость в оценке его идентификации отсутствует.
После анализа выполнения необходимых условий идентификации рассмотрим выполнение достаточных условий идентификации для каждого уравнения.
Для первого уравнения рассчитаем определитель матрицы из коэффициентов тех переменных, что не входят в данное уравнение, т.е.:
| DetA* = | -1 | b21 | 0 | ≠ 0 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | -1 | 0 | ||
| 1 | 0 | 1 |
Т.к. определитель квадратной 3х3 матрицы ≠ 0, то ранг матрицы из коэффициентов тех переменных, что не входят в данное уравнение = 3.
Получаем выполнение условия 3 = H – 1, где H – общее число эндогенных переменных в модели.
Таким образом, для первого уравнения достаточное условие идентификации выполняется.
Проведем аналогичные вычисления для второго уравнения системы. Вычислим определитель матрицы:
| DetA* = | -1 | 0 | 0 | ≠ 0 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | b32 | 0 | ||
| 1 | 0 | 1 |
Т.к. определитель квадратной 3х3 матрицы ≠ 0, то ранг матрицы из коэффициентов тех переменных, что не входят во второе уравнение = 3.
Получаем выполнение условия 3 = H – 1, следовательно, для второго уравнения достаточное условие идентификации выполняется.
Проверим выполнение условия для третьего уравнения. Вычислим определитель матрицы:
| DetA* = | -1 | 0 | 0 | ≠ 0 |
|---|---|---|---|---|
| 0 | -1 | 0 | ||
| 1 | 1 | 1 |
Т.к. определитель квадратной 3х3 матрицы ≠ 0, то ранг матрицы из коэффициентов тех переменных, что не входят в третье уравнение = 3.
Получаем выполнение условия 3 = H – 1, следовательно, для третьего уравнения достаточное условие идентификации выполняется.
По результатам проверки выполнения необходимого и достаточного условий идентификации было получено, что уравнения, образующие систему, являются сверхидентифицированными, следовательно, и данная система эконометрических уравнений в целом является сверхидентифицированной. Для оценки параметров сверхидентифицированной системы эконометрических уравнений применяется двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).
2. В том случае, когда из данной системы эконометрических уравнений удалить тождество дохода, то это приведет к уменьшению количества экзогенных переменных на одну, т.к. произойдет удаление переменной Gt, которая входит в тождество. Также на единицу сократиться количество эндогенных переменных из-за трансформации переменной Yt в экзогенную. Правая часть первого и третьего уравнений системы будут состоять только переменные, определяемые вне системы. Второе уравнение будет описывать зависимость внутренней It от внешней переменной rt и предопределенной переменной. Это приведет к образованию рекурсивной системы эконометрических уравнений, параметры которой оцениваются с использованием обычного МНК, и при этом отсутствует необходимость проводить анализ выполнения требований на соблюдение условий идентификации.
Вернутся к примерам решения задач по эконометрике
