Вернутся к примерам решения задач по эконометрике
Задача №6. Решение задачи №6 по эконометрике. Гиперболическая регрессия. Условие задачи:
Изучается зависимость материалоемкости продукции от размера предприятия по 10 однородным заводам:
| № завода | Потреблено материалов на единицу продукции, кг. | Выпуск продукции, тыс.ед. |
|---|---|---|
| 1 | 9,9 | 113 |
| 2 | 7,8 | 220 |
| 3 | 6,8 | 316 |
| 4 | 5,8 | 413 |
| 5 | 4,5 | 515 |
| 6 | 5,5 | 614 |
| 7 | 4,3 | 717 |
| 8 | 6,9 | 138 |
| 9 | 8,8 | 138 |
| 10 | 5,3 | 262 |
На основе исходных данных:
1. Определить параметры уравнения гиперболической регрессии (уравнение равносторонней гиперболы);
2. Рассчитать значение индекса корреляции;
3. Определить коэффициент эластичности для уравнения гиперболической регрессии (уравнение равносторонней гиперболы);
4. Оценить значимость уравнения гиперболической регрессии (уравнение равносторонней гиперболы).
Решение с объяснениями и выводами:
Для построения уравнения гиперболической регрессии (уравнение равносторонней гиперболы) необходимо выполнить линеаризацию переменной x. Составим таблицу вспомогательных расчетов:
| № завода | Потреблено материалов на единицу продукции, кг., y | Выпуск продукции, тыс.ед., z | yz |
|---|---|---|---|
| 1 | 9,9 | 0,00885 | 0,087615 |
| 2 | 7,8 | 0,004545 | 0,035451 |
| 3 | 6,8 | 0,003165 | 0,021522 |
| 4 | 5,8 | 0,002421 | 0,014042 |
| 5 | 4,5 | 0,001942 | 0,008739 |
| 6 | 5,5 | 0,001629 | 0,00896 |
| 7 | 4,3 | 0,001395 | 0,005999 |
| 8 | 6,9 | 0,007246 | 0,049997 |
| 9 | 8,8 | 0,007246 | 0,063765 |
| 10 | 5,3 | 0,003817 | 0,02023 |
| Итого | 65,6 | 0,042256 | 0,31632 |
| Среднее значение | 6,56 | 0,004226 | 0,031632 |
| σ | 1,75 | 0,002535 | - |
| σ2 | 3,05 | 0,000006 | - |
Параметр b уравнения гиперболической регрессии рассчитаем по формуле:
Пример расчета параметра b уравнения равносторонней гиперболы:
b = (0.031632-6.56*0.004226)/0.000006 = 651.57
Параметр a уравнения гиперболической регрессии рассчитаем по формуле:
Пример расчета параметра a уравнения равносторонней гиперболы:
a = 6.56-651.57*0.004226 = 3.81
Получаем следующее уравнение гиперболической регрессии:
Y = 3.81+651.57 / х
Значение индекса корреляции для уравнения равносторонней гиперболы рассчитаем по формуле:
Для расчета индекса корреляции построим таблицу вспомогательных расчетов:
| № завода | y | Y | (y-Y)2 | (y-yсредн)2 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 9,9 | 9,6 | 0,09 | 11,16 |
| 2 | 7,8 | 6,8 | 1 | 1,54 |
| 3 | 6,8 | 5,9 | 0,81 | 0,06 |
| 4 | 5,8 | 5,4 | 0,16 | 0,58 |
| 5 | 4,5 | 5,1 | 0,36 | 4,24 |
| 6 | 5,5 | 4,9 | 0,36 | 1,12 |
| 7 | 4,3 | 4,7 | 0,16 | 5,11 |
| 8 | 6,9 | 8,5 | 2,56 | 0,12 |
| 9 | 8,8 | 8,5 | 0,09 | 5,02 |
| 10 | 5,3 | 6,3 | 1 | 1,59 |
| Итого | 65,6 | 65,7 | 6,59 | 30,54 |
Пример расчета индекса корреляции:
ρxy = √(1-6.59 / 30.54) = 0.8856
Интерпретация индекса корреляции осуществляется на основе шкалы Чеддока. Согласно шкале Чеддока между выпуском продукции и материалоемкостью имеется очень тесная связь.
Коэффициент эластичности для уравнения равносторонней гиперболы (гиперболической регрессии) определим по формуле:
Пример расчета коэффициента эластичности для гиперболической регрессии:
Эyx = -(651.57 / (3.81*344.6+651.57)) = -0.33%.
Интерпретация коэффициента эластичности: рассчитанный коэффициент эластичности для гиперболической регрессии показывает, что с ростом объема выпуска продукции на 1% от его среднего значения потребление материалов на единицу продукции уменьшается на 0.33% % от своего среднего значения.
Оценку значимость уравнения гиперболической регрессии (уравнения равносторонней гиперболы) выполним при помощи F-критерия Фишера для нелинейной регрессии. F-критерий Фишера для нелинейной регрессии определим по формуле:
Пример расчета F-критерия Фишера для гиперболической регрессии. Fфакт = 0.7843 / (1-0.7843) * 8 = 29.09. Так как фактическое значение F-критерия Фишера больше табличного, то полученное уравнение гиперболической регрессии и показатели тесноты связи являются статистически значимыми.
Вернутся к примерам решения задач по эконометрике
