Расчет коэффициента корреляции

Расчет коэффициента корреляции

Методы расчета коэффициента корреляции

При изучении различных социально-экономических явлений выделяют функциональную связь и стохастическую зависимость. Функциональная связь - это такой вид связи, при которой некоторому взятому значению факторного показателя соответствует лишь одно значение результативного показателя. Функциональная связь проявляется во всех случаях исследования и для каждой определенной единицы анализируемой совокупности.

Смотрите также: решение задач по эконометрике

Размещено на www.rnz.ru

В том случае, когда причинная зависимость действует не в каждом конкретном случае, а в общем для всей наблюдаемой совокупности, среднем при значительном количестве наблюдений, то такая зависимость является стохастической. Частным случаем стохастической зависимости выступает корреляционная связь, при которой изменение средней величины результативного показателя вызвано изменением значений факторных показателей. Расчет степени тесноты и направления связи выступает значимой задачей исследования и количественной оценки взаимосвязи различных социально-экономических явлений. Определение степени тесноты связи между различными показателями требует определение уровня соотношения изменения результативного признака от изменения одного (в случае исследования парных зависимостей) либо вариации нескольких (в случае исследования множественных зависимостей) признаков-факторов. Для определения такого уровня используется коэффициент корреляции.

Линейный коэффициент корреляции был впервые введен в начале 90-х гг. XIX в. Пирсоном и показывает степень тесноты и направления связи между двумя коррелируемыми факторами в случае, если между ними имеется линейная зависимость. При интерпретации получаемого значения линейного коэффициента корреляции степень тесноты связи между признаками оценивается по шкале Чеддока, один из вариантов этой шкалы приведен в нижеследующей таблице:

Шкала Чеддока количественной оценки степени тесноты связи

Величина показателя тесноты связи
Характер связи
До |±0,3|
Практически отсутствует
|±0,3|-|±0,5|
Слабая
|±0,5|-|±0,7|
Умеренная
|±0,7|-|±1,0|
Сильная

При интерпретации значения коэффициента линейной корреляции по направлению связи выделяют прямую и обратную. В случае наличия прямой связи с повышением или снижением величины факторного признака происходит повышение или снижение показателей результативного признака, т.е. изменение фактора и результата происходит в одном направлении. Например, повышение величины прибыли способствует росту показателей рентабельности. При наличии обратной связи значения результативного признака изменяются под воздействием факторного, но в противоположном направлении по сравнению с динамикой факторного признака. Например, с повышением производительности труда уменьшается себестоимость единицы выпускаемой продукции и т.п.

Формула расчета коэффициента корреляции

В теории разработаны и на практике применяются различные модификации формул для расчета данного коэффициента. Общая формула для расчета коэффициента корреляции имеет следующий вид:

Формула расчета коэффициента корреляции
Формула расчета коэффициента корреляции

где r - линейный коэффициент корреляции.

Опираясь на математические свойства средней, общую формулу можно представить следующим образом, получив следующее выражение:

Формула расчета линейного коэффициента парной корреляции
Формула расчета линейного коэффициента парной корреляции

Выполняя дальнейшие преобразование, можно получить следующие формулы вычисления коэффициента корреляции Пирсона:

Формула расчета коэффициента корреляции Пирсона
Формула расчета коэффициента корреляции Пирсона

где n - число наблюдений.

Выполняя вычисление по итоговым данным для расчета показателя корреляции, его можно рассчитать с использованием следующих формул:

Пирсон онлайн
Пирсон онлайн

Методом расчета показателя корреляции является вычисление данного показателя с использованием его взаимосвязи с дисперсиями факторного и результативного признаков по следующей формуле:

Формула расчета коэффициента корреляции через дисперсии
Формула расчета коэффициента корреляции через дисперсии

Последние три приведенные формулы используются для изучения взаимосвязи между признаками в совокупностях незначительной величины - до 30 наблюдений.

Также показатель тесноты связи можно определить на основе его взаимосвязи с показателями уравнения регрессии, используя следующее отношение:

Формула расчета коэффициента корреляции через показатели регрессии
Формула расчета коэффициента корреляции через показатели регрессии

где аi - коэффициент регрессии в уравнении связи;

σхi - среднее квадратическое отклонение соответствующего статистически существенного факторного признака.

Линейный коэффициент корреляции несет в себе важную информацию для успешного изучения социально-экономических явлений и процессов, распределение которых близко к нормальному. Теоретически является обоснованным, что условие rxy = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы факторный и результативный признаки x и y являлись независимыми. При указанном условии, когда показатель корреляции равен нулю, показатели регрессии также имеют нулевые значения, а прямые линии регрессии у по х и х по у являются взаимно перпендикулярными на графике (параллельными: одна прямая - оси х, а другая прямая - оси y).

В том случае, когда rxy = 1, то это означает, что все точки (х, у) расположены на прямой и зависимость между х и у относится к функциональным. При указанном условии прямые линии регрессии совпадают. Указанное положение действует также в случае исследования трех и более показателей, если они подчинены закону нормального распределения.

В целом значение линейного показателя связи находится в диапазоне от - 1 до 1, т.е.: -1 < r < 1. Знаки коэффициентов регрессии и корреляции одинаковы. При этом интерпретацию получаемых величин показателя связи можно сформулировать в форме следующей таблицы:

Интерпретация линейного коэффициента корреляции

Значение линейного показателя связи
Характер связи
Интерпретация связи
r = 0
Не имеется
-
0 < r < 1
Прямая
С повышение значения х возрастает y
-1 < r < 0
Обратная
С повышением значения х снижается величина у, и наоборот
r = 1
Функциональная
Каждому значению факторного показателя строго соответствует одно значение результативного показателя

Значимость линейного коэффициента корреляции оценивается при помощи t-критерия Стьюдента.

Пример расчета коэффициента корреляции

Приведем пример расчета коэффициента корреляции Пирсона для значений, приведенных в следующей таблице. Для этого используем следующие данные (пример условный):

Значение показателя X
Значение показателя Y
1.1
1.3
1.9
1.1
1.5
1.2
1.9
0.5
1.9
1.5
1.1
1.7
0.9
2
1
0.9
1.3
1.2
1.5
1.7

Количество наблюдений менее 30, поэтому в нашем примере для расчета парного коэффициента корреляции используем следующую формулу:

Для этого составим вспомогательную таблицу:

№ п/п
x
y
xy
x2
y2
1
1.1
1.3
1.43
1.21
1.69
2
1.9
1.1
2.09
3.61
1.21
3
1.5
1.2
1.8
2.25
1.44
4
1.9
0.5
0.95
3.61
0.25
5
1.9
1.5
2.85
3.61
2.25
6
1.1
1.7
1.87
1.21
2.89
7
0.9
2
1.8
0.81
4
8
1
0.9
0.9
1
0.81
9
1.3
1.2
1.56
1.69
1.44
10
1.5
1.7
2.55
2.25
2.89
Итого
14.1
13.1
17.8
21.25
18.87

Методология вычисления: r = (17,8-14,1*13,1/10)/(√((21,25-14,1*14,1/10)*(18,87-13,1*13,1/10))) = -0,4389.

Полученное значение коэффициента корреляции Пирсона говорит о наличии обратной связи между X и Y. Величина коэффициента корреляции Пирсона показывает, что связь между X и Y слабая.

Онлайн калькулятор расчета коэффициента корреляции

В заключении приводим небольшой онлайн калькулятор расчета коэффициента корреляции онлайн, используя который, Вы можете самостоятельно выполнить расчет значения коэффициента корреляции Пирсона и получить интерпретацию рассчитанного значения. При заполнении формы калькулятора внимательно соблюдайте размерность полей, что позволит выполнить расчет коэффициента корреляции онлайн быстро и точно. В форме онлайн калькулятора уже содержатся данные условного примера, чтобы пользователь мог посмотреть, как это работает. Для определения значения показателя по своим данным просто внесите их в соответствующие поля формы онлайн калькулятора и нажмите кнопку "Выполнить вычисления". При заполнении формы соблюдайте размерность показателей! Дробные числа записываются с точной, а не запятой!

Онлайн-калькулятор расчета коэффициента корреляции:

Значение показателя X
Значение показателя Y